Турнир городов 21 октября 2012г.

Задачи 10-11 классов.

1. Дана бесконечная последовательность чисел [m]a_1,~a_2,~a_3,~...[/m]. Известно, что для любого номера [m]k[/m] можно указать такое натуральное [m]l[/m],что [m]a_k=a_{k+l}=a_{k+2l}=...[/m]. Обязательно ли эта последовательность периодическая, т. е. существует ли такое [m]T[/m], что [m]a_k=a_{k+T}[/m] при любом натуральном [m]k[/m]? (4 балла)

2. Чичиков играет с Ноздревым. Сначала Ноздрев раскладывает [m]1001[/m] орех по трем коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число [m]N[/m] от [m]1[/m] до [m]1001[/m]. Далее Ноздрев перекладывает, если надо, один или несколько орехов в пустую четвертую коробочку и предъявляет Чичикову одну или несколько коробочек, где в сумме ровно [m]N[/m] орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрев. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы не играл Ноздрев? (5 баллов)

3. Машина ездит по кольцевой трассе по часовой стрелке. В полдень в две разных точки трассы вышли два наблюдателя. К какому-то моменту машина проехала возле каждого наблюдателя не менее [m]30[/m] раз. Первый наблюдатель заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду быстрее, чем предыдущий. Второй заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду медленнее, чем предыдущий. Докажите, что прошло не менее полутора часов. (6 баллов)

4. На сторонах [m]AB[/m] и [m]BC[/m] треугольника [m]ABC[/m] выбраны соответственно точки [m]C_1[/m] и [m]A_1[/m], отличные от вершин. Пусть [m]K[/m] — середина отрезка [m]A_1C_1[/m], а [m]I[/m] — центр окружности, вписанной в треугольник [m]ABC[/m]. Оказалось, что четырехугольник [m]A_1BC_1I[/m] вписанный. Докажите, что угол [m]AKC[/m] тупой. (8 баллов)

5. Петя и Вася играют в игру, правила которой таковы. Петя загадывает натуральное число [m]x[/m] с суммой цифр [m]2012[/m]. За один ход Вася выбирает любое натуральное число [m]a[/m] и узнает у Пети сумму цифр числа [m]|x-a|[/m]. Какое наименьшее число ходов необходимо сделать Васе, чтобы гарантированно определить [m]x[/m]? (8 баллов)

6.
а) Внутри сферы находится некоторая точка [m]A[/m]. Через [m]A[/m] провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках. Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых. (5 баллов)
б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр [m]A[/m] не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из [m]A[/m] в вершины икосаэдра, высекают [m]12[/m] точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают [m]12[/m] новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых [m]12[/m] точек. (Напомним, что икосаэдр — это правильный многогранник, у которого [m]20[/m] треугольных граней, и в каждой вершине сходится [m]5[/m] граней.) (5 баллов)

7. Клетчатая полоска [m]1 \times 1000000[/m] разбита на [m]100[/m] сегментов. В каждой клетке записано целое число, причем в клетках, лежащих в одном сегменте, числа совпадают. В каждую клетку поставили по фишке. Затем сделали такую операцию: все фишки одновременно передвинули, каждую — на то количество клеток вправо, которое указано в ее клетке (если число отрицательно, то фишка двигается влево), при этом оказалось, что в каждую клетку снов попало по фишке. Эту операцию повторяют много раз. Для каждой фишки первого сегмента посчитали, через сколько операций она впервые окажется в этом сегменте. Докажите, что среди посчитанных чисел не более [m]100[/m] различных. (10 баллов)

P.S. Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются. Время выполнения работы 5 часов.

3. Непонятно сформулировано: наблюдатели "вышли" — означает, что они идут по кругу или вышли и встали на месте?

Вы обнаружили слово, которое было случайно изменено мною при наборе.
В оригинале не вышли, а {B]встали.
Спасибо. :-)

Это хорошо, тогда симпатичная задачка получается ;-)