Несколько дней не могу решить

… пж, кто может🥺!
В первом томе матанализа Фихтенгольца (глава 11, параграф 4, подпункт 192 «Пример») есть непонятный мне момент.
Автор решает полный эллиптический интеграл второго рода (пример ниже) по формуле Томаса Симпсона с доп. членом. Затруднение вот какое: Фихтенгольц оценивает четвертую производную для подынтегральной функции меньше 12 ( f(x)'''' <12) и в подстрочном примечании пишет, что в этом убедиться легко, продифференцировав тождество
y^2 = 1 — 1/2sin^2x и зная, что f(x) ≥1/√2
Я не понимаю, что мне делать. Я дифференцировал саму функцию — громоздко, дифференцировал тождество — громоздко, и я не уверен, иду ли я по правильному пути, т.к, как я указал, Фихтенгольц заметил простоту этого действия, и ведь сам он же получил результат, но по моим расчётам это едва ли возможно. Помогите, пожалуйста.
Просто натолкните, напишите, что мне делать, как именно дифференцировать тождество

Вы не показали свой путь, поэтому неясно, в каком месте толкать.
В тождестве разделены переменные и нет радикалов, поэтому для простоты надо именно его и дифференцировать. Раумеется, по dx. Разве три слагаемых в выражении четвёртой производной – это громоздко?

Я ниже прикрепил фото того, что я делал. Hе уверен, могу ли я так дифференцировать «y», а насчет громоздкости, то я думал эти производные выражать одну через другую, а потом и y выразить через саму функцию — это громоздко. Но проблема не в это. Я не знаю, что мне делать потом с этим выражением и как правильно вывести, что производная 4-ой степени меньше 12. У меня также были идеи выражать производные одну через другую не просто подстановкой, а приравнивать, к примеру, итог 1-го дифференцирования ( равный -(sin2x)/2) к итогу 3-го дифференцирования (равный 2sin2x) через sin2x, но толку вышло мало. Короче, я не знаю, как перейти от дифференцированного тождества, к неравенству, как его согласовать с f(x) >1/√2

Хорошо, дифференцирование выполнено, как надо. Теперь надо последовательно оценивать значения производных и использовать эту оценку для вычисления границ значений каждой последующей производной.
Например, в выражение для первой производной входит синус и оцененная неизвестная функция, причём |sin|⩽1 и 4y⩾2√2. Если число, не превосходящее единицы, разделить на число, не меньшее известного положительного числа, то в каких пределах получится результат?
Выражение для второй производной представляет собой дробь с переменным числителем и знаменателем. Числитель является алгебраической суммой ограниченных величин, следовательно его величина тоже ограничена ... и так далее.