Произвольное множество

Теорема 1. Производное множество E' любого точечного множества Е замкнуто.

Доказательство из книги Натансона И.П. "Теория функций вещественной переменной", 1950 года выпуска.

Пусть E' не пусто и x_0 есть предельная точка E'.
Возьмем произвольный интервал (α, β), содержащий точку x_0.
По определению предельной точки, в этом интервале найдется точка z ∈ E'.
Значит интервал (α, β) есть интервал, охватывающий предельную точку исходного множества E, а потому он содержит бесконечное множество точек E.
Итак, всякий интервал, содержащий точку x_0, содержит бесконечное множество точек E, так что точка x_0 есть предельная точка Е. Иначе говоря, x_0 ∈ E'.
Таким образом множество E' содержит все свои предельные точки и, стало быть, замкнуто.

Мой вопрос:
Можно ли заменить в доказательстве фразу "Возьмем произвольный интервал (α, β)" на "Возьмем произвольный отрезок [α, β]".
Если да, то в чем тогда будет отличие?

Жанна, в доказательстве используется интервал, а не отрезок, потому что именно интервал фигурирует в определении предельной точки. Поэтому если первую фразу заменить так, как Вы предлагаете, то дальше всё равно рассуждение сведётся к рассмотрению интервала.
Кроме того, нужно будет оговорить, что границы интервала не совпадают с [m]x_0[/m], в противном случае в отрезке может и не оказаться точек множества E. То есть отрезок уже не произвольный.