👍
0
👎
0
|
Ответ chatgpt:
Коротко — минимум 5 камушков.
Обоснование (по-понятиям):
- Пусть суммарный вес всех камней нормирован = 1.
- Для каждого (n=1,2,3,4,5) требуется разбиение на две группы с отношением весов (n:1). Значит, нужно, чтобы в списке сумм каких-то подмножеств были числа
[
\frac{1}{2},;\frac{2}{3},;\frac{3}{4},;\frac{4}{5},;\frac{5}{6}.
]
У каждого такого подмножества есть дополнение, дающее дроби
[
\frac{1}{2},;\frac{1}{3},;\frac{1}{4},;\frac{1}{5},;\frac{1}{6}.
]
Всего — 9 различных дробей ( \frac{1}{6},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6}) (и ещё 0 и 1).
- С (k) камнями число всех возможных сумм подмножеств ≤ (2^k). Чтобы содержать хотя бы эти 11 значений (0, 1 и 9 дробей), нужно (2^k\ge 11), откуда (k\ge 4). Но перебор показал, что при (k=4) решить систему линейных уравнений, соответствующих этим дробям, невозможно (перепробовать все варианты разбиений — не даёт положительного решения). Значит, (k\ge 5).
Построение (конструктивно) — пример с 5 камнями:
возьмём веса
[
\frac12,;\frac16,;\frac14,;\frac1{20},;\frac1{30}.
]
Их сумма = (1). Для этих пяти камней имеются разбиения, дающие нужные отношения:
- (n=1) (отношение (1:1)): группа = ({\tfrac12}) и оставшиеся — дают (1/2) и (1/2).
- (n=2) (отношение (2:1)): группа = ({\tfrac12,\tfrac16}) суммарно (2/3) (а дополнение (1/3)).
- (n=3): группа = ({\tfrac12,\tfrac14}) суммарно (3/4).
- (n=4): группа = ({\tfrac12,\tfrac14,\tfrac1{20}}) суммарно (4/5).
- (n=5): группа = ({\tfrac12,\tfrac14,\tfrac1{20},\tfrac1{30}}) суммарно (5/6).
Все эти равенства легко проверить арифметически (все дроби даются с общим знаменателем 60).
Итого: минимальное число камушков = 5, пример весов приведён выше.
|