Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться.
1) [m]\int\limits_0^1\dfrac{\operatorname{arctg}(x)}{x\sqrt{1-x^2}}dx[/m]
[m]\int\limits_0^1\dfrac{\operatorname{arctg}(x)}{x\sqrt{1-x^2}}dx=\int\limits_0^{0,5}\dfrac{\operatorname{arctg}(x)}{x\sqrt{1-x^2}}dx+\int\limits_{0,5}^1\dfrac{\operatorname{arctg}(x)}{x\sqrt{1-x^2}}dx[/m]
[m]\int\limits_0^{0,5}\dfrac{\operatorname{arctg}(x)}{x\sqrt{1-x^2}}dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\int\limits_{\varepsilon_1}^{0,5}\dfrac{\operatorname{arctg}(x)}{x\sqrt{1-x^2}}dx=\lim\limits_{\varepsilon_1\to 0}\int\limits_\varepsilon^{0,5}\dfrac{x-\frac{x^3}{3}+O(x^5)}{x}dx=[/m]
[m]=F(0,5)-0[/m]
[m]\int\limits_{0,5}^1\dfrac{\operatorname{arctg}(x)}{x\sqrt{1-x^2}}dx=\lim\limits_{\varepsilon_2\to 0}\int\limits_{0,5}^{\varepsilon_2}\dfrac{\operatorname{arctg}(x)}{x\sqrt{1-x^2}}dx=???[/m]
2) [m]\int\limits_0^{+\infty}\dfrac{\sin^4(2x)}{x^4}[/m]
[m]\int\limits_0^{+\infty}\dfrac{\sin^4(2x)}{x^4}dx=\int\limits_0^{1}\dfrac{\sin^4(2x)}{x^4}dx+\int\limits_1^{+\infty}\dfrac{\sin^4(2x)}{x^4}dx[/m]
[m]\int\limits_0^{1}\dfrac{\sin^4(2x)}{x^4}dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\int\limits_{\varepsilon}^{1}\dfrac{\sin^4(2x)}{x^4}dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\int\limits_{\varepsilon}^{1}\dfrac{\Big(2x-\frac{8x^3}{6}+O(x^5)\Big)^4}{x^4}dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\int\limits_{\varepsilon}^{1}{\Big(2-\frac{8x^2}{6}+O(x^4)\Big)^4}dx=[/m]
[m]=F(1)-0[/m]
[m]\int\limits_1^{+\infty}\dfrac{\sin^4(2x)}{x^4}dx=\lim\limits_{A\to +\infty}\int\limits_1^{A}\dfrac{\sin^4(2x)}{x^4}dx=???[/m]