Функция и производная

1. Я понял что, любую функцию можно рассмотреть как производную
а если рассмотреть производную как функцию
y=x^2 (x^2) ' =2x
Выяснил, что у=2х — это обычная функция и ее график
у=2х — линейная функция , которая может возрастать или убывать
1) "производная больше нуля (над осью Ох), функция возрастает "
но ведь график функции у= x^2 убывает и над Осью Ох
2) "производная меньше нуля (под осью Ох), функция убывает "
но ведь график функции у=2x возрастает и под Осью Ох

2. y=cosx (cosx)' = -sinx
у=-sin x — функция , которая может возрастать или убывать
1) "производная больше нуля (над осью Ох), функция возрастает "
но ведь график функции у= cosx убывает и над Осью Ох
2)"производная меньше нуля (под осью Ох), функция убывает "
но ведь график функции у=-sin x возрастает и под Осью Ох



Можно ли утверждать, что :
1) любое уравнение у=... можно рассмотреть как функцию и как производную . При функции одни свойства : возрастает где возрастает . А при производной другие : больше нуля — выше оси Ох.

2) если любое уравнение у=... можно рассмотреть как функцию и как производную . Я думаю , свойства будут различаться , невозможно одно уравнение одновременно рассмотреть как функцию и как производную , так как у функции одни свойства , а у производной другие

3)
ГРАФИК ФУНКЦИИ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ПО ГРАФИКУ ПРОИЗВОДНОЙ и наоборот.
то есть, если график производной больше нуля , то график функции возрастает
y=2x^2 '=4x
если y=4x >0, выше нуля ; y=2x^2 возрастает

Есть существенные неточности в понимании производной.

Например, график функции по графику производной точно построить нельзя. Обрати внимание на то, что производные от f(x) и f(x)+С равны для любого х. С- любое число. Например, если производная равна 2х, то такую производную будут иметь функции x^2; x^2-1; x^2+3 и т.д.

Производная от функции — тоже функция и обладает всеми свойствами функции. Причина твоего вопроса в том, что для исследования функции на монотонность используют анализ промежутков знакопостоянства производной. Но производная также может расти и убывать, как всякая другая функция.

Краткие ответы на твои вопросы не позволят тебе разобраться с производной.
Стоит обратиться к хорошему учебнику, например, к учебнику Никольского.
http://rgho.st/7brG88CPC
Параграф 2. Уяснить, что такое предел функции и несколько примеров вычисления
Параграф 4. Уяснить определение производной и разобрать примеры вычисления
Параграф 5. Подробно разобраться с применением производной для исследования функции и решения физических задач.
С конкретными вопросами можно потом обратиться сюда.

"На пальцах". Производная функции описывает скорость изменения функции.
Применительно к физике:
Производная функции изменения координаты от времени — это зависимость скорости от времени.
Производная функции зависимости скорости от времени — это ускорение (скорость изменения скорости). Или "вторая производная" координаты.
Однако, как заметил Борис Семёнович, исходная функция по производной однозначно не определеяется.
В частности, если известно, что ускорение постоянно и равно 10 м/с2 (график ускорения — прямая, параллельная оси t), то скорость за 1 секнуду могла измениться с 10м/c до 20м/с (20-10=10), а могла измениться с 90м/c до 100м/с (100-90=10), а могла еще много каким способом так, чтобы разность составила именно 10.
Точно также, если известно, что пешеход движется со скоростью 5км/ч (это производная координаты), то это значит, что за каждый час его координата смещается на 5 километров относительно той координаты, которая у него была в начале этого часа. Но чему именно была равна эта координата, по одной только скорости определить невозможно.