Физика . Задачи про спутники

Как найти полную энергию спутника, находящегося на круговой орбите

Как сумму потенциальной и кинетической энергий mg(R+h) + (mv^2)/2, где R — радиус Земли, а h — высота спутника над её поверхностью, v — скорость движения спутника

Потенциальная энергия равна
-GmM/(R+h)=-mgR^2/(R+h). Кинетическая энергия mv^2/2, где скорость находится из уравнения Ньютона mv^2/(R+h)=GmM/(R+h)^2=mgR^2/(R+h)^2. Отсюда находим квадрат скорости, кинетическую энергию, складываем с потенциальной и получаем результат

mv квадрат на 2 + mgh

Полная энергия спутника равна сумме потенциальной энергии притяжения спутника к планете плюс кинетическая энергия движения спутника на орбите.

E(полная) =Е(кинетическая) +Е(потенциальная) ; полагаем за 0 потенциальной энергии такое положение спутника относительно его планеты, где нет между ними взаимодействия, т.е. на бесконечности. Тогда отсчёт потенциальной энергии будет идти в сторону отрицательного направления оси энергий, соответственно и сама потенциальная энергия будет отрицательной. Е(потенциальная) =-(GMm) /(R+h), где h-высота полёта спутника, М-масса планеты, m-масса спутника. Кинетическая энергия спутника-энергия его движения по круговой орбите: ma(центростремительное) =(GMm) /(R+h)^2,тогда (mv^2)/(R+h)=(GMm)/(R+h)^2 отсюда v^2=(GM)/(R+h); тогда Е(кинет) =(mv^2)/2=(GMm)/2(R+h)=-Е(потенциальная) /2, в итоге Е(полная) =-(GMm)/2(R+h);
Получили парадокс спутника: при уменьшении полной энергии спутника его кинетическая энергия возрастает, а потенциальная — убывает. Если на бесконечности кинетическая энергия не 0, а тоже бесконечно большая, то движение уже не следует рассматривать как круговое, т.к. как минимум круг с радиусом бесконечность вырождается в линию на участке наблюдения.

Обычно под словом полная энергия имеют ввиду тот случай когда потенциальная энергия на бесконечности равна нулю. В этом случае надо складывать положительную кинетическую энергию и отрицательную потенциальную. Если учесть что орбитальная скорость спутника это первая космическая на данной высоте то формула получается простой. E=-(GMm)/(2R). Где G- гравитационная постоянная. M масса земли. m масса спутника. R радиус орбиты спутника.

Полная механическая энергия есть сумма кинетической (Ек) и потенциальной (Ер) энергий.
Ек= mv^2/2, где v — первая космическая скорость (орбитальная скорость), её квадрат равен GM/r, где М — масса Земли, r — расстояние от спутника до центра Земли (радиус круговой орбиты).
Ер= — GmM/r, где G — гравитационная постоянная, m — масса спутника.
Собирая все вместе, получаем полную механическую энергию спутника Е = — GmM/2r.