Пусть:
Петя: х (картофелин) — собрал всего
Вася: 12х (картофелин) -собрал всего, в 12 раз > Пети
у — количество картофелин с !самого большого! куста
После того, как Вася отдал Пете y картофелин:
Петя: х + у
Вася: 12х — у
После этого у Васи стало в 7 раз больше чем у Пети:
(12х — у) / (х + у) = 7
х = 8у/5
Это уравнение в целых числах, т.к. х, у (количество картофелин) — целые. Решениями уравнения будут пары чисел: у, делящийся на 5, чтобы получившийся при делении на 5 «х» был целым числом. И соответствующий получившемуся иксу «у». Например, (8;5), (16;10), (24;15) и т.д.
В общем виде решение для у будет выглядеть так:
у = 5n, где n >= 1
(т.к. «у» делится на 5 и больше 1, при n = 0 Вася отдал 0 картофелин, а при n < 0 вообще отдал отрицательное количество)
Тогда:
х = 8(5n)/5
х = 8n
Когда знаем, чему равен «х», запишем исходное количество картофелин у Васи:
12х = 12(8n) = 96n
Исходные данные теперь выглядят так:
Петя — 8n
Вася — 96n
Дальше нас интересует только Вася.
Сейчас нужно понять, сколько минимум кустов ему понадобилось выкопать:
После того, как Вася отдал 1 куст с y=5n картофелинами Пете, у него осталось 96n — 5n = 91n.
Вася — 91n
Теперь нужно понять, как максимально эффективно разместить оставшиеся 91n картофелин по кустам.
Поскольку максимальный куст был уже отдан, то для минимального количества кустов все оставшиеся должны содержать в себе на одну картофелину меньше, чем было на максимальном кусте: 5n — 1 . Но может произойти такая ситуация, когда у нас не получится равно распределить все картофелины по кустам.
--------------------------------
Пример при n = 1:
После того, как Вася отдал картошку Пете у него осталась 91n = 91*1 = 91 картофелина. Поскольку отдавал он 5n = 5*1 = 5 картофелин, то остальные кусты могут иметь максимум 4 картофелины. Пробуем уместить: 91/4 = 22,75 кустов. Значит, у нас поместилось 22 куста по 4 картофелины и 1 куст по 3. Нам нужно выделить 1 куст для того, чтобы забалансить им количество кустов до целого. Соответственно, количество картошки на этом кусте может быть ⇐ количеству на основных.
--------------------------------
В итоге имеем:
1 куст Вася отдал Пете
1 куст для баланса
Неизвестное количество кустов по 5n-1 картофелин
По условию задачи нужно доказать, что Вася выкопал как минимум 20 кустов.
Сначала у него 96n картофелин.
1 куст ушел Пете (5n картофелин)
1 куст для баланса (на нем ⇐ 5n -1)
Тогда как минимум на 18 кустах располагалось 91n картофелин по 5n-1 на каждом кусте.
Если докажем, что для размещения 91n картофелин по 5n-1 на каждом кусте(для минимального количества кустов) нам всегда нужно больше 18 кустов, то задача решена.
Запишем неравенство:
(91n) / (5n -1) >= 18
91n >= 90n — 18
n >= -18 — верно, т.к. n >= 1 (начало решения)
Задача решена.
