У Вики есть 40 карточек с числами от 1 до 40

Она хочет разбить все карточки на пары так, чтобы во всех парах получался один и тот же модуль разности чисел. Сколько существует способов так сделать?

Обозначим модуль разности за d. Однозначно, карточка 1 будет в паре с 1+d, 2 – с 2+d, 3 – с 3+d, ..., d – с 2d, значит должно существовать бы 2d карточек. Если существуют карточки с бóльшими номерами, то можно аналогично показать, что должны существовать ещё 2d следующих карточек. И такое же рассуждение можно повторять, пока не останется карточек с бóльшими номерами. Получим, что 2d является делителем числа 40, а также что для любого числа d, удовлетворяющему этому условию, мы однозначно знаем, какие карточки с какими в паре. Значит ответ на задачу – это число чётных делителей числа 40 (так как каждому такому делителю соответствует одно число d и, следовательно, одно разбиение карточек на пары). Чётные делители числа 40 – это: 2, 4, 8, 10, 20, 40. Значит, ответ – 6 способов.

Не понятно причем здесь делители, если речь идет о разности. Например: если пара 40,20 и 20, 40 — одна пара, то 20 пар, если разные, то 40.

Допустим, модуль разности равен 5. Тогда для 1 единственная возможная пара — это 6, для 2 — 7, 3 — 8, 4 — 9, 5 — 10, а далее 6 уже занята и следующее число без пары — 11. Таким образом пары группируются в группы по 5 пар (10 чисел), идущих подряд. В общем случае для разности, равной d, должно получиться по 2d карточек в группе, и таких групп должно быть целое количество во всём наборе карточек. Поэтому количество способов = количеству чётных делителей числа 40. Ответ 6.