У Вики есть 120 карточек с числами от 1 до 120

Она хочет разбить все карточки на пары так, чтобы во всех парах получался один и тот же модуль разности чисел. Сколько существует способов так сделать?

2

21

12
Проще всего начать с примера. Допустим мы задумали разницу 6. Посмотрим, какие карточки будут попадать в пары. 1-7,2-8, ..., 6-12. То есть у нас получилось поместить в пары карточки с 1 по 12. Дальше, будет аналогично, 13-19, ...., 18-24. И так далее. То есть в одной такой группе в парах будут 2*разницу карточек. А теперь нам нужно посмотреть, заполнят ли эти группы все 120 карточек. То есть, нам подойдут группы, в которых количество карточек делитель 120. Или иначе 2*разница делитель 120, или что то же самое, разница — делитель 60. Посчитаем количество различных делителей 60. 60 = 2*2*3*5. Можно перебором. А можно представить, что мы включаем каждый из простых множителей в произведение, или нет(если не включаем все сомножители — то делитель получается 1,что очевидно подходит). Тогда получится 2^количество множителей = 16. Но при этом мы дважды посчитали комбинации, в которых есть один сомножитель 2. Таких комбинаций 8. И половина из них — нам не нужны. То есть нужно вычесть 4. Итого, 2^4 -4 = 12 возможных разниц, каждая из которых задаёт уникальное деление на пары.

Пусть разность =1, тогда пары: (1,2), (3,4), (5,6), .... Если разность = 2, то пары: (1,3), (2,4), (5,7), (6,8), (9,11), (10,12), ... (118,120)
Если разность=К, где K от 3 до 60, то пары: для 60 : (1,61), (2,62), (3,63), ...(60,120), отсюда всего способов получаем 60.

Посмотрите,что получится, если взять разницу 7.

У Вики есть 120 карточек с числами от 1 до 120. Она хочет разбить все карточки на пары так, чтобы во всех парах получался один и тот же модуль разности чисел. Сколько существует способов так сделать?

У Вики есть 40 карточек с числами от 1 до 40. Она хочет разбить все карточки на пары так, чтобы во всех парах получался один и тот же модуль разности чисел. Сколько существует способов так сделать?

Она хочет разбить все карточки на пары так, чтобы во всех парах получался один и тот же модуль разности чисел. Сколько существует способов так сделать?

Она хочет разбить все карточки на пары так, чтобы во всех парах получался один и тот же модуль разности чисел. Сколько существует способов так сделать?

У Вики есть 120 карточек с числами от 1 до 120
Она хочет разбить все карточки на пары так, чтобы во всех парах получался один и тот же модуль разности чисел. Сколько существует способов так сделать?