Можно ли подключать БП с таким разъёмом питания?

Боязно подключать этот разъём

Если восстановили нормальный контакт, то можно. Потемнение пластмассы это показатель того, что в прошлом был нагрев из-за плохого контакта (высокого сопротивления) на проводе с большим током.
Если не восстанавливали, то не надо, лучше заменить блок питания.

И можете обосновать свой ответ?

Какие БП будут хороши?

Сгорел блок, поменял, не работает. Что делать?