Две задачки

Здравствуйте,уважаемые преподаватели. Вчера мне очень помогли на этом форуме, прошу помощи ещё раз( Злоупотреблять не буду вашей помощью, сын такой умница, но с несколькими задачками из вступительных в 8-й класс не справился

1) Петя стоит на прямолинейной дороге, проходящей по полю. Скорость движения Пети по полю 3 км/ч, а по дороге 6 км/ч. Отметьте на рисунке те точки, куда Петя может дойти не блее, чем за час.

Мы с сыном стали решать эту задачу, получилось что-то вроде бусинок, нанизанных на отрезок 12 км. Эти бусинки пересекаются в серединах. Первая радиусом 3, вторая 1,5, и так далее. Это правильно?

2) Илья стоит на автотрассе Москва-Владимир. , а мимо него проезжают машины: МАЗ (во Владимир), Ауди (в Москву), Камаз (во Владимир). В тот момент, когда мимо Ильи проехал МАЗ, Ауди и Камаз были от него на равных расстояниях. Когда мимо Ильи проехал Ауди, МАЗ и Камаз были от него на равных расстояниях. Илья полагает, что когда мимо него проедет Камаз, МАЗ и Ауди будут от него также на равных расстояниях. Прав ли он?

Мы нарисовали картинки, сын табличку на каждый случай нарисовал, но условие очень сложное, непонятно, как столбцы и строчки заполнять. Подскажите, пожалуйста

1) Нет, оно выглядит не так. Для того, чтобы решить, Вам надо рассмотреть 2 случая:
- Петя сразу идёт по полю
- Петя сначала некоторое время идёт по дороге

второй случай представляет интерес. Рассмотрите все окружности с центрами на дороге по одну сторону от старта (о радиусах которых, видимо, Вы и говорили). В этом случае надо понять, что ко всем таким окружностям есть общая касательная, проходящая через точку дороги, расположенную в 6 км от старта (такие точки я назову концами дороги).

Если в двух словах, она общая из-за того, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной — получите для разных окружностей прямоугольные треугольники, у всех катет равен половине гипотенузы (тут надо догадаться), значит у всех касательных угол с дорогой равен 30 градусов, и все они проходят через одну точку, тогда они совпадают.

Пересечь такую касательную Пете за час не удастся. Останется понять, в какие из точек касательной Петя попасть сможет.

2) Тут проще, рассмотрите два случая:
- сначала мимо Ильи проехал Маз, потом Ауди, потом Камаз
- сначала мимо Ильи проехала Ауди, потом Маз, потом Камаз.

и помните, что Камаз до последнего описанного момента находился на участке между Москвой и Ильёй.

Константин Павлович, поняла Вас. У нас получается, что Петя может попасть во все точки этой касательной... мы рисовали "крайний" случай (по дороге 3 км, затем по полю 1,5 км), тогда между касательной и двумя первыми окружностями образуется треугольник с двумя непрямыми сторонами. Но, кажется, Петя сможет попасть в этот треугольник , если сначала пройдёт по дороге чуть меньше, чем 3 км, потом пойдёт перпендикулярно ей...

В тот криволинейный треугольник, о котором Вы говорите, он и правда сможет попасть, но не так, как Вы предположили. Сворачивать с дороги надо под углом 60 градусов, чтобы в общую касательную упереться под углом 90 градусов.

Помимо этого криволинейного треугольника есть и ещё точки.

Построим к дороге перпендикуляр L, проходящий через старт.
Тогда дорога и L отрежут на общей касательной отрезок и получится ещё один прямоугольный треугольник. Петя сможет попасть не в каждую его точку — он никак не успеет, например, в одну из вершин этого треугольника. Надо понять, куда он всё же успеет.

И стоит честно прояснить, почему за общую касательную он не успеет уйти, если не совсем понятно. Прямо начиная от того, почему ему нет особого смысла идти по кривой (отличной от ломаной из не более чем двух звеньев). Иначе пользы от решения не будет.

Константин Павлович, получается, что фигура, внутри которой может быть Петя — это тот треугольник, переходящий от точки касания в кусочек окружности? И с остальных 3-х сторон тоже

Да, всё верно. В итоге должно получиться что-то вроде ромба, у которого тупые углы "скруглили"))