Как постоить биекцию между квадратом и отрезком?

Здравствуйте, уважаемые преподаватели!

Знаю, что мощность отрезка [0; 1] равно мощности континуума. И знаю, что декартово произведение двух отрезков, то есть единичный квадрат, имеет такую же мощность.
Значит, между этими множествами существует биекция. А как её построить?

Биекция не обязана быть непрерывной. Попробуйте пожонглировать цифрами в десятичном представлении точки отрезка и пары координат точки квадрата.

Если (x, y) есть какая-нибудь точка единичного квадрата, то ее координаты x и y могут быть представлены в виде десятичных разложений
x = 0,a1a2a3a4 . . . , y = 0,b1b2b3b4 . . . ,
причем пусть будет условлено (ради избежания всяких сомнений), что, например, число 1/4 будет записываться в виде 0,25000 . . . , а не в виде 0,24999 . . .
Названной точке квадрата (x, y) мы сопоставим точку единичного отрезка z = 0,a1b1a2b2a3b3a4b4 . . . .
Очевидно, различным точкам квадрата (x, y) и (x0, y0) сопоставляются различные же точки отрезка z и z0; это и значит, что кардинальное число множества точек квадрата не превышает кардинального числа множества точек отрезка.
(Собственно говоря, в данном случае построено взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек квадрата и некоторым подмножеством точек отрезка: никакая точка квадрата не будет соответствовать, например, точке отрезка 0,2140909090 . . . , так как мы условились писать 0,25000 . . . , а не 0,24999 . . . Но можно слегка видоизменить построение таким образом, чтобы действительно осуществлялось взаимно однозначное соответствие между
множеством всех точек квадрата и множеством всех точек отрезка.)

Вот что я нашла в книге Р.Курант, Г.Роббинс. Что такое математика? на c.112-113

Но я не понимаю, как можно видоизменить указанное построение=(

Эх, а я-то думал, что сами догадались :-(
Разрешим числу 1/4 иметь оба представления, тогда каждой точке отрезка будет соответствовать некоторая точка квадрата (возможно, не единственная) и наоборот:
точке A=0,25=0, 2499... будут соответствовать точки квадрата B'=(0,2; 0,5) и B''=(0,299...=0,3; 0,499...=0,5), но их не более двух; точке B=(0,25=0,24999...; 0,37=0,36999...) — точки отрезка A'=0,2357, A''=0,2346999...=0,2347, A'''=0,23560909..., A''''=0,23479090..., но их не более четырёх.
"Скорректируем" наше соответствие. Заметим, что число допускает 2 представления тогда и только тогда, когда его можно записать конечной десятичной дробью, т.е. оно рациональное, значит, их множество счётно.
Добьёмся, чтобы каждой точке отрезка соответствовала единственная точка квадрата. Занумеруем "плохие" точки отрезка: А_1, А_2, А_3,... которым соответствуют точки B_1, B'_1, B_2, B'_2, B_3, B'_3, ... квадрата, и на этом подмножестве переопределим соответствие: A_1 — B_1, A_2 — B'_1, A_3 — B_2, A_4 — B'_2, ...
Аналогично поступим с "плохими" точками квадрата (докажите, что их множество тоже счётно)..

Павел Борисович, спасибо Вам большое! Я все поняла!

А приведенное выше доказательство из книги (которое я привела) придумал Кантор, как я поняла. Я очень много вчера литературы по этому поводу прочитала.

Да, а я думала над другим способом обойти проблему с "плохими точками". Хотела просто то же самое преобразование — склеивание двух координат точки квадрата, производить в двоичной системе счисления. Там же нет 9-ок=). Но потом поняла, что проблема и в этом случае никуда не исчезает: ведь ( 0.(1) )_2 = ( 1 )_2 = ( 1.(0) )_2

Это просто чтобы Вы не думали, что я только задаю вопросы — а сама ничего не делаю.

Спасибо за помощь!

Ой, нет, вроде, так как я хотела сделать — тоже можно делать. Потому что ведь точка такая "плохая" — она в двоичном представлении только одна. Ведь отрезок у нас единичный. Значит, единственная точка, которая имеет "двойное" представление — это будет 1.

Ничего подобного. Например,
[m]\left(\frac14\right)_{10}=0,01_2=0,00111..._2[/m]

Да, согласна. Но мы можем отбросить все последовательности с 1 в периоде в принципе, кроме одной ( 0.(1) )_2, которая как раз и получается при склеивании координат правой верхней вершины квадрата, то есть двух таких же последовательностей.
Тогда у нас все точки отрезка будут образами каких-то точек квадрата.

Ой, пока писала, поняла, что если взять точку на отрезке ( 0,010010101010... )_2 — то она должна получаться из 0,00(1) и 0,1, а первую точку я хотела запретить и называть её 0,01. А пара (0,01 ; 0,1) переходит в 0,011 != 0,010010101010...
Потому что (0,011)_2 = 1/4 + 1/8 = 3/8, ( 0,010010101010... )_2 = 1/4 + 1/24 = 7/24 = 3/8 — 1/12

Да? То есть нет смысла переходить в двоичную систему счисления?

А если у точки квадрата только одна координата рациональная?

Первое, что приходит в голову: воспользоваться общей схемой из теоремы Кантора-Бернштейна.

установить биекцию между [2,7] и [-3,8]

Здравствуйте!
Помогите найти функцию, которая разрывна во всех точках, но при этом для нее выполняется условие: ∀С $\in$ [f(x1),f(x2)] \exists x $\in$[х1 , x2] : f(x) = C.
Строил доказательство на том, что f(x) = y обязательно биекция на каком-то [x1 , x2], но оно неверно, так как R^R равномощно R

Задача такова: Докажите, что прямое произведение конечного числа конечных множеств конечно.

Решение: Мощность прямого произведения = произведению мощностей сомножителей.
А произведение конечного количества целых чисел — целое число.

Помогите записать данное решение с помощью формул или в иной форме, чтобы наглядно показать доказательство

Установить биекцию между множествами [0, +беск.) и отрезком [а, в].